接下来，戴浩文又给出了一些练习题，让学子们自己尝试运用泰勒展开式进行计算。
“计算 f(x) = ln(1 + x) 在 x = 0 处的泰勒展开式。”
“求 f(x) = √(1 + x) 的泰勒展开式。”
学子们埋头苦思，认真计算。戴浩文则在一旁耐心地等待，随时准备为有需要的学子提供帮助。
过了一会儿，戴浩文开始查看学子们的练习情况。
“李华，这里的系数计算有误，应再仔细检查一下导数的计算。”
“赵婷，思路正确，但在化简过程中要注意运算规则。”
在戴浩文的指导下，学子们逐渐掌握了泰勒展开式的计算方法。
戴浩文说道：“泰勒展开式不仅可用于计算函数的近似值，还能帮助我们分析函数的性质。例如，通过观察泰勒展开式的各项系数，我们可以了解函数的增减性、凹凸性等。”
他在黑板上画出函数图像，结合泰勒展开式进行分析，让学子们更加直观地感受到数学的奇妙。
“今有一函数 f(x) = (1 + x)^α ，其中α为实数，试推导其泰勒展开式。”戴浩文又抛出一个新的问题。
学子们陷入了沉思，纷纷尝试着进行推导。
王强率先说道：“先生，可否先求出其导数，然后在 x = 0 处展开？”
戴浩文点头道：“王强之思路可行，诸位可依此尝试。”
经过一番努力，学子们终于推导出了该函数的泰勒展开式。
戴浩文满意地说道：“甚好。通过今日之学习，想必尔等对泰勒展开式已有一定之了解。然学无止境，课后还需多加练习，方能熟练运用。”
学子们齐声应道：“谨遵先生教诲。”
随着课程的深入，戴浩文又为学子们讲解了泰勒展开式的误差估计。
“在运用泰勒展开式进行近似计算时，我们需对误差进行估计，以确保计算结果的准确性。”戴浩文说道。
他在黑板上写下误差估计的公式，并通过实例进行详细的解释。
“例如，对于函数 f(x) = e^x ，若我们取其泰勒展开式的前 n 项进行近似计算，误差 Rn(x) 可表示为...... ”
学子们认真聆听，不时做着笔记。
戴浩文接着说道：“误差估计在实际应用中至关重要。若误差过大，可能导致计算结果失去意义。”
为了让学子们更好地掌握误差估计，戴浩文又布置了一些相关的练习题。
“已知函数 f(x) = sin(x) ，用其泰勒展开式的前三项计算 x = π/6 处的值，并估计误差。”
“计算函数 f(x) = ln(1 + x) 在 x = 0.5 处的泰勒展开式的前四项近似值，并估计误差。”
学子们积极思考，努力完成练习题。
戴浩文在学堂中巡视，不时给予指导和鼓励。
“张明，误差估计的公式要牢记，计算时要仔细。”
“李华，思路清晰，继续保持。”
经过一段时间的练习，学子们对误差估计有了较好的掌握。
戴浩文说道：“今日本堂课程即将结束，望尔等课后多加温习，明日吾将检查。”
学子们纷纷起身，向戴浩文行礼后，离开了学堂。
第二天，戴浩文早早地来到学堂，准备检查学子们的作业情况。
他一份份仔细查看学子们的作业，脸上时而露出欣慰的笑容，时而微微皱眉。
待全部看完，戴浩文说道：“总体而言，大家的作业完成情况尚可，但仍有部分同学在误差估计方面存在一些问题。我们一起来看一下。”
戴浩文将作业中的典型错误一一在黑板上指出，并进行了详细的讲解和纠正。
“比如这道题，计算函数 f(x) = cos(x) 在 x = π/4 处的泰勒展开式的前五项近似值并估计误差，有些同学在计算误差时忽略了高阶导数的取值范围，导致误差估计不准确。”
学子们认真听着，不时点头，表示明白了错误之处。
戴浩文又出了几道新的题目让大家当场练习。
经过一番思考和计算，学子们陆续完成了题目。
戴浩文查看后，说道：“此次练习情况有所好转，但仍需注意细节。泰勒展开式及其误差估计是数学中的重要内容，大家切不可马虎。”
接下来的几天，戴浩文不断变换题目类型，增加难度，让学子们在反复练习中加深对泰勒展开式及误差估计的理解和运用。
在一次课堂练习中，赵婷遇到了一道难题，苦思冥想许久仍不得其解。
戴浩文走到她身边，轻声问道：“赵婷，何处困住了你？”
赵婷指着题目说道：“先生，这道计算函数 f(x) = (1 + x)^2 在 x = -0.5 处的泰勒展开式的前六项近似值并估计误差的题目，我在计算误差时总是出错。”
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