6x2?4x?3=06x^2 - 4x - 3 = 06x2?4x?3=0
设M(x?, y?)，N(x?, y?)，则 x1+x2=46=23x_1 + x_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}x1+x2=64=32，x1x2=?36=?12x_1 x_2 = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}x1x2=?63=?21。
∣PM∣?∣PN∣=(x1?xP)2+(y1?yP)2?(x2?xP)2+(y2?yP)2|PM| \cdot |PN| = \sqrt{(x_1-x_P)^2 + (y_1-y_P)^2} \cdot \sqrt{(x_2-x_P)^2 + (y_2-y_P)^2}∣PM∣?∣PN∣=(x1?xP)2+(y1?yP)2?(x2?xP)2+(y2?yP)2
由于点M, N在直线 y=x?12y = x - \frac{1}{2}y=x?21 上，且P(1, 1/2)也在这条直线上（因为直线m过P点），所以PM和PN的表达式可以简化。
实际上，P是弦MN上的一个定点。
∣PM∣?∣PN∣=∣(x1?xP)(x2?xP)∣?(1+km2)|PM| \cdot |PN| = |(x_1-x_P)(x_2-x_P)| \cdot (1+k_m^2)∣PM∣?∣PN∣=∣(x1?xP)(x2?xP)∣?(1+km2)，这里 km=1k_m=1km=1。
∣PM∣?∣PN∣=∣x1x2?xP(x1+x2)+xP2∣?(1+12)|PM| \cdot |PN| = |x_1x_2 - x_P(x_1+x_2) + x_P^2| \cdot (1+1^2)∣PM∣?∣PN∣=∣x1x2?xP(x1+x2)+xP2∣?(1+12)
∣PM∣?∣PN∣=∣?12?1(23)+12∣?2=∣?12?23+1∣?2=∣?3+4?66∣?2=∣?16∣?2=13|PM| \cdot |PN| = |-\frac{1}{2} - 1(\frac{2}{3}) + 1^2| \cdot 2 = |-\frac{1}{2} - \frac{2}{3} + 1| \cdot 2 = |-\frac{3+4-6}{6}| \cdot 2 = |-\frac{1}{6}| \cdot 2 = \frac{1}{3}∣PM∣?∣PN∣=∣?21?1(32)+12∣?2=∣?21?32+1∣?2=∣?63+4?6∣?2=∣?61∣?2=31。
这个计算过程，秦风写得极为流畅。
接下来是计算 |PA|·|PB|。
直线l的方程为 y?12=?1(x?1)y - \frac{1}{2} = -1(x - 1)y?21=?1(x?1)，即 y=?x+32y = -x + \frac{3}{2}y=?x+23。
代入椭圆方程 x22+y2=1\frac{x^2}{2} + y^2 = 12x2+y2=1：
x22+(?x+32)2=1\frac{x^2}{2} + (-x + \frac{3}{2})^2 = 12x2+(?x+23)2=1
x22+x2?3x+94=1\frac{x^2}{2} + x^2 - 3x + \frac{9}{4} = 12x2+x2?3x+49=1
32x2?3x+54=0\frac{3}{2}x^2 - 3x + \frac{5}{4} = 023x2?3x+45=0
6x2?12x+5=06x^2 - 12x + 5 = 06x2?12x+5=0
设A(x?, y?)，B(x?, y?)，则 x3+x4=126=2x_3 + x_4 = \frac{12}{6} = 2x3+x4=612=2，x3x4=56x_3 x_4 = \frac{5}{6}x3x4=65。
同样，P(1, 1/2)是弦AB的中点。
∣PA∣?∣PB∣=∣(x3?xP)(x4?xP)∣?(1+kl2)|PA| \cdot |PB| = |(x_3-x_P)(x_4-x_P)| \cdot (1+k_l^2)∣PA∣?∣PB∣=∣(x3?xP)(x4?xP)∣?(1+kl2)，这里 kl=?1k_l=-1kl=?1。
由于P是AB中点，所以 xP=x3+x42x_P = \frac{x_3+x_4}{2}xP=2x3+x4，这意味着 x3?xP=?(x4?xP)x_3-x_P = -(x_4-x_P)x3?xP=?(x4?xP)。
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