进入11月，京城霜重露寒。
红星所集成电路实验室，一间设计室内。
三张绘图桌拼在一起，密密麻麻的草稿铺满了桌面。
烟灰缸里的烟头堆成了小山。
吕辰趴在桌上，手里拿着一支削得极细的铅笔，在一张坐标纸上画着。
他眯着眼睛，眉头拧成一团，额头上沁出细汗。
对面，诸葛彪同样趴着，拿着一模一样的铅笔，同样紧锁眉头。
钱兰坐在窗边，面前摊着一个笔记本，上面写满了0和1组成的序列。
她不时抬头看着墙上的黑板，黑板上写满了公式和推导过程，红蓝粉笔的痕迹层层叠叠，有些地方被擦掉又重写，擦了三四遍。
“这个地方不对。”吕辰忽然开口，声音有些沙哑。
他放下铅笔，揉了揉眼睛，站起身走到黑板前。
拿起粉笔，在某一行公式上画了一个圈。
“你们看，这个PID控制器的积分项，我们用的是位置式算法。u(k) = Kpe(k) + KiΣe(j) + Kd*(e(k)-e(k-1))。”他用粉笔点着那一行，“问题出在这个Σe(j)上。累加和会无限增长，如果不做限幅，迟早溢出。”
诸葛彪走过来，盯着那个公式看了几秒：“限幅肯定要做。但问题是，这个限幅阈值设多少？设太小，积分饱和，系统静差消不掉；设太大，溢出保护等于白设。”
钱兰也站起来，走到黑板前：“而且这是理论公式。我们要用数字逻辑实现，得把它离散化、量化、定点化。每一步都有精度损失。”
吕辰点点头，拿起粉笔，在黑板的空白处开始写。
“我们先做离散化。连续PID的传递函数是……”
他一边写一边讲解，粉笔在黑板上发出“哒哒哒”的脆响。
u(t) = K_p e(t) + K_i \int e(t)dt + K_d \frac{de(t)}{dt}
“位置式离散化，把积分用累加代替，微分用差分代替。”
u(k) = K_p e(k) + K_i \sum_{j=0}^{k} e(j) \Delta T + K_d \frac{e(k) - e(k-1)}{\Delta T}
他写完，转过身看着两人：“现在的问题是，这些系数Kp、Ki、Kd，还有采样周期ΔT，都是浮点数。我们要用定点数实现，就得量化。”
诸葛彪皱着眉头：“量化就有量化误差。特别是Ki，如果太小，量化后可能变成0，积分项就没了。”
钱兰补充道：“还有乘法。e(k)是16位有符号数，Kp是量化后的8位或16位系数，乘起来就是32位甚至更多。我们要不要保留全部精度？”
吕辰沉默了几秒，然后转身继续在黑板上写。
K_p = \frac{K_p\_real}{Q_p}
K_i = \frac{K_i\_real}{Q_i}
K_d = \frac{K_d\_real}{Q_d}
“这是量化系数。我们假设把所有系数都量化成16位定点数，Q值根据动态范围选。”他用粉笔点着那几个符号，“那么问题就变成了：乘法器的输出是32位，我们要截取哪16位送给下一级？”
诸葛彪想了想：“理论上应该保留高位。但积分项是累加的，如果每次都截掉低位，累加误差会越来越大。”
钱兰翻着她的笔记本：“我算过，如果每次截掉16位以下的4位，累加一千次，误差可能达到满量程的1%。”
“1%？”吕辰皱起眉头，“电机控制的精度要求是微米级，1%的误差意味着几十微米的偏移。不行，太大了。”
三人沉默了。
办公室里只有墙上挂钟的“滴答”声，还有窗外偶尔传来的蝉鸣。
过了好一会儿，吕辰忽然说：“我们换个思路。”
他走到黑板前，把刚才写的公式全都擦掉。
“传统的PID，是用乘法器实现。但乘法器太占面积。我们能不能不用乘法？”
诸葛彪愣了一下：“不用乘法？那怎么实现比例、积分、微分？”
吕辰拿起粉笔，在黑板上画了一个表格。
“用查表。把e(k)当作地址，Kpe(k)的结果事先算好，存在ROM里。来一个e(k)，直接读ROM，得到Kpe(k)。”
钱兰眼睛亮了：“查表式乘法器？”
“对。”吕辰继续画，“KiΣe(j)也可以查表。Σe(j)是累加和，范围可控，我们可以事先算好不同累加和对应的Ki积分值，存在另一片ROM里。”
诸葛彪皱着眉头：“那ROM的容量得有多大？e(k)是16位，如果直接寻址，2的16次方是。每个结果存16位，就是128K字节。两片ROM就是256K。”
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