635. 数学因自身蓬勃发展而面临诸多风险，如何从中脱困，此乃理论层面之问；而探寻途径，使学生能有效利用已积累之成果，并让学习者得以了解数学各领域现状，则为实际难题……大量数学文献虽多存于期刊与会刊中，但通过专着或高等教材，完全可使其比目前更实用、更易获取。整个学科因缺乏入门途径而受困，许多优美的数学分支被视为艰深且专业，仅因难以接触……我深切认为，由胜任者撰写的新学科导论，实为对整个科学的真正贡献。我国出版的优秀基础教材数量众多，更令人遗憾的是，面向进阶学生的教材竟如此之少。以高等教材为例，许多学科都深感其匮乏，我可提及去年出版的克里斯托尔教授《代数》第二部分，其篇幅虽小，却汇聚了大量有价值的基础知识——此前这些知识虽近在咫尺，普通学生却难以触及。我还想补充，任何专着或高等教材，若能引用原始文献，若可能，再附上简短历史说明，总归是好的。我确信，数学若试图脱离其历史，较之其他学科，损失将最为惨重。
——J.W.L.格莱舍《英国科学促进会A组主席演讲》（1890年）；《自然》第42卷，第466页
算学自因其蓬勃之态，罹于险厄，如何解困，此乃玄理之辩；而令学子得窥累世之成，晓诸科之状，实为实务之难。算学典籍，多藏于期刊会录，然若藉专着、精编教本，必可益彰其用，广开其途。今学科之蔽，在于门径壅塞，致使妙理幽微之学，世人以其难涉，目为艰深。吾深以为，硕学鸿儒作新科导论，实乃学界之幸。今观国中，初等教本颇丰，而进阶之籍寡见，诚为憾事。如去岁克氏《代数》下卷，篇幅简省，然奥理精要毕集，往昔学子难及之境，今豁然可通。再者，着书立说，宜引原典，若能附以史略，更善。算学离其史，则如木断其根，此理较他学尤甚。
——J.W.L.格莱舍《英吉利格物会甲部会长演辞》（1890年）；《自然》卷四十二，页四百六十六
636. 一门科学越是发展，就越能直接理解那些从前只能通过冗长中间推导才能证明的结果：除非达到这一目标，否则某一数学学科不能被视为最终完成。
——保罗·哥尔丹《二元型的型系》（莱比锡，1875年），第2页
科学愈进，则昔日需繁证之理，今可直解。若未至斯境，算学某科不得谓为圆成。
——保罗·哥尔丹
《二元型之型系》（莱比锡，1875年），页二
637. 一位法国老几何学家常说，一个数学理论永远不应被视为完整，除非你已将其阐述得足够清晰，能向街头遇到的第一个人解释清楚。
——H.J.S.史密斯《自然》第8卷（1873年），第452页
昔有法兰西几何宿儒云：算理之成，必至浅白，即便途遇路人，亦可立解，方得圆满。
——H.J.S.史密斯《自然》卷八（1873年），页四百五十二
638. 为理解并完全掌握算术概念与证明方法，高度抽象必不可少，这一条件有时被指责为算术的缺陷。我认为，所有其他知识领域都至少需要与数学同等程度的抽象——前提是，在这些领域中，对基础的考察也处处具备实际必要的严谨性与完整性。
——大卫·希尔伯特《代数数域理论》序言；《德国数学家协会年报》第4卷
欲通算术之理、精其证法，非极于抽象不可。世人或以此为病，然吾以为，诸般学问，若求根基坚牢、考据精严，皆需如算学之抽象，方得究竟。
——大卫·希尔伯特《代数数域论·序》；《德意志算学会年报》卷四
639. 现代数学严谨细致的精确性，对准确性而言必不可少，……对研究而言亦必不可少。它有助于思维清晰，有助于在尝试新的思想组合时富有成效。当初始陈述模糊草率时，在后续每一步思考中，都不得不依靠常识来限制应用并解释意义。而在创造性思维中，常识是糟糕的主人。其判断的唯一标准是新思想应形似旧思想，换言之，它只能通过压制原创性来起作用。
——A.N.怀特海《数学导论》（纽约，1911年），第157页
今世算学，务求精密，此非独为确证，亦为探新。精审则思理澄明，推陈出新乃得畅达。若立论之初，语意含混，则每至推演，必赖常理补阙，而常理之于创见，反成桎梏。盖常理之断，唯求新说类于旧论，此无异于伐异标新，实非治学之道。
——A.N.怀特海《算学导论》（纽约，1911年），页一百五十七
640. 数学家极为看重方法与成果的优雅性，此非浅尝辄止的玩味。究竟何为解答或证明中的优雅之感？是各部分的和谐、对称与恰如其分的平衡——简言之，是引入秩序、赋予统一，让我们既能清晰把握整体，又能即刻理解细节的一切。而这恰恰能催生重要成果：我们对整体的把握越清晰直观，就越能察觉其与邻近领域的相似性，进而更可能做出普适性的推论。优雅感可能源于不期而遇的概念碰撞——将习以为常的事物以意外方式联结，这种联结之所以富有成效，是因为它能揭示此前未被认知的内在关联。即便优雅仅体现为“方法简易”与“问题复杂”的反差，亦具启发性：它促使我们探寻反差背后的缘由，且常让我们发现其中并非偶然，而是蕴含着未被察觉的规律。总之，数学优雅感不过是解答契合心智需求时的满足感，而正是这种契合，使解答成为我们的研究工具。因此，这种审美满足与思维效率实乃一体两面。
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